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Geburten bei den Frensländern

In diesem Matherätsel von Heinrich Hemme lautet die Aufgabe folgendermaßen:

Bei den Frensländern ist es von größter Bedeutung, dass ein Ehepaar eine Tochter als Stammhalterin hat. Deshalb zeugt jedes Paar solange Kinder, bis ihm eine Tochter geboren wird. Danach setzt es keine weiteren Kinder in die Welt. Angenommen, die Wahrscheinlichkeiten, einen Jungen oder ein Mädchen zu bekommen, seien gleich. In welchem Verhältnis steht in Frensland die Anzahl der Jungengeburten zu der der Mädchengeburten?
Ist doch logisch, dachte ich: Die Anzahl der Jungs ist größer. Stimmt aber nicht. Nur warum ist das so? Logisch betrachtet muss die Anzahl der Jungengeburten die Anzahl der Mädchengeburten übersteigen: Jedes Paar bekommt immer nur maximal eine Tochter, aber möglicherweise vorher schon mehrere Jungen.

Im verlinkten Artikel / Rätsel lautet die Lösung folgendermaßen:

Da bei jeder einzelnen Geburt, egal, ob es sich um eine Erstgeburt handelt oder ob das Ehepaar vorher schon ein Dutzend Jungen bekommen hat, die Wahrscheinlichkeit für einen Mädchen 50 Prozent beträgt, steht die Anzahl der Jungengeburten zu der der Mädchengeburten im Verhältnis 1:1.
Bin ich jetzt aufgrund der Fragestellung reingefallen oder mache ich einen gravierenden Denkfehler? Natürlich ist die Wahrscheinlichkeit bei der Geburt eine 50/50-Chance. 50% Mädchen, 50% Junge. Das gilt für jede einzelne Geburt. Ist ja klar, darüber gibt es nichts zu diskutieren. Das ist mathematisch absolut korrekt.

Aber dennoch müsste, wenn man nicht die einzelnen Geburten sondern die gesamte Bevölkerung betrachtet, die Anzahl der männlichen Nachkommen die Anzahl der weiblichen Nachkommen der Frensländerer übersteigen, da die Paare ja nicht nur akkurat abwechselnd Mädchen und Jungen bekommen, sondern durchaus auch mal mehrere Jungen, bis es endlich klappt – aber eben grundsätzlich immer nur ein Mädchen.

Habe ich einen Denkfehler gemacht oder schlicht und einfach in die Frage ("In welchem Verhältnis steht in Frensland die Anzahl der Jungengeburten zu der der Mädchengeburten?") viel zu viel hineininterpretiert?

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Comments

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Statistikprof ;) on :

Moin!

Ja, Du hast (wie so viele so oft bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung) einen Denkfehler.
Ich versuche das zu erklären, musste aber selbst erst ein wenig nachdenken (-rechnen).
Mit 50%iger Wahrscheinlichkeit (WS) bekommen Familien als erstes ein Mädchen. D.h. dass 50% aller Familien keinen Jungen haben! Um das auszugleichen müssten die anderen Familien doppelt soviele J zeugen wie M. Das passiert aber erst bei Familien mit 3 oder mehr Kindern.
Mit 25%iger WS bekommen sie zwei Kinder: J, M.
D.h. bei Betrachtung 75% (50%M+25%JM) aller Familien gibt es deutlich mehr Mädchen (50% haben keinen J und der Rest genausoviele J wie M).
Mit 12,5%iger WS bekommen sie J, J, M (3. Kind M)
Erst hier haben wir "Ausgleich": M + JM + JJM = JJJ:MMM. Also haben wir durch 87,5% der Familien den statistischen Ausgleich geschafft.
Die verbleibenden 12,5% sorgen zwar tatsächlich dafür, dass es mehr J als M gibt, aber das fällt bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung kaum noch ins Gewicht. So haben ja 6,25% nur einen J mehr, als für ein Gleichgewicht notwendig ist. Und nur 3,125% aller Familien haben überhaupt mehr als 4 Kinder.

Ergo: 1:1 ist es tatsächlich nicht, aber es ist doch eine so geringe Abweichung, dass diese in statistischen Tests vermutlich nicht auffallen würde.
Habe mal ein paar Zufallszahlen gebaut und die jeweilige Anzahl verglichen. Bei 2.000 Familien steht es 1.010J zu 990M. Also eine Abweichung von 1%!

e.g. John Doe on :

Ohne weiter darüber nachzudenken: du vergisst den Fall, bei dem Paare (in 50% der Fälle) direkt eine Tochter bekommen und damit exakt null Söhne.

hilti on :

Du machst tatsächlich einen Denkfehler. Du berücksichtigst bei den Paaren mit mehreren Kindern nicht alle Paare. Tatsächlich ist es so, dass es für jedes Paar wo das 2. Kind ein Junge ist es auch ein Paar gibt wo das 2. Kind ein Mädchen ist. Und beim 3. Kind das selbe.

Oder ganz simpel so formuliert:
1. Kind 50% Mädchen und 50% Jungen. Die Eltern der Mädchen stellen die Familienplanung ein, die Eltern der Jungen machen weiter.
2. Kind 50% Mädchen und 50% Jungen. Die Eltern der Mädchen stellen die Familienplanung ein, die Eltern der Jungen machen weiter.
3. Kind 50% Mädchen und 50% Jungen. Die Eltern der Mädchen stellen die Familienplanung ein, die Eltern der Jungen machen weiter.
Und so weiter und so fort.

Für jeden Jungen wird also auch ein Mädchen geboren.

Nicht der Andere on :

Bei gleicher und gleich bleibender Eintrittswahrscheinlichkeit bleibt auch das Ergebnis immer 50:50. Das ist nicht unabhängig von irgendeiner Reihenlänge oder irgendeinem Abbruchkriterium.

Erst beim anders verstandenen Abbruch, also der Verhinderung bestimmter Realisierungen, würde sich diese Relation verändern lassen können.

Spielt auch keine Rolle, ob man bis zu einem Mädchen oder einem Jungen weitermacht oder solange, bis man zwei, drei oder X Mädchen/Jungen hintereiander bekommen hat. Führt alles nur zu mehr Kindern, aber keiner anderen Zusammensetzung.

Auf sowas wie den männlichen Stammhalter sind ja alle Religionen und Ideologien gekommen, um ihr eigenes Häufchen zu vergrößern. Hätten sie die Anforderung halt ein wenig komplexer gestalten müssen, um gegen die anderen Häufchen wirksamer gegenan stinken zu können.

Habakuk on :

Danke für die Erklärung. Ich bin zuerst in die gleiche Falle getappt wie Björn, aber dein Ansatz macht es verständlich, warum die 50/50 Antwort korrekt ist.

Was man an deiner Auflistung auch sieht, und was ebenfalls einen Erklärungsansatz liefert:
Die Hälfte der Paare hat nur ein Mädchen und stellt ja dann das Kinderkriegen ein. Diese Paare gleichen die anderen aus, die einen oder mehrere "fehlgeschlagene" Versuche mit Jungen benötigen, um das ersehnte Mädchen auf die Welt zu bringen.

Sachti on :

Die Wahrscheinlichkeit 50:50 gilt ja für die gesamten Frensländer, nicht für ein einzelnes Paar. Wenn ein Paar 5 Jungen hat bevor es ein Mädchen bekommt, gibt es dann noch 4 weitere Frensländer Paare bei denen es auf Anhieb mit dem Mädchen geklappt hat und die Quote 5 Mädchen zu 5 Jungen ist wieder erfüllt.

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